已知抛物线(a<0)的对称轴为x=-1,与x轴的一个交点为(3,0).若关于x的一元二次方程(p>0)有整数根...
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已知抛物线(a<0)的对称轴为 x=-1,与 x 轴的一个交点为(3,0).若关于 x 的一元二次方程 (p>0)有整数根,则p的值有( )
A.4个 B.3个 C.7个 D.5个
【回答】
A
【分析】
根据题意可知一元二次方程(p>0)的根应为整数,通过抛物线(a<0)的对称轴为与x轴的一个交点为.可以画出大致图象判断出直线y=p(0<p≤)与二次函数的交点位置与个数,观察图象当0<y≤时,抛物线始终与x轴相交于与.故自变量x的取值范围为<x<.所以x可以取得整数,共个.而与,与,与x=0关于直线成轴对称,从而确定y=p时,满足条件的p的值应有个.
【详解】
解:∵抛物线(a<0)的对称轴为
∴
解得:b=2a.
又∵抛物线(a<0)与x轴的一个交点为.
把代入得,,
解得,
∴(a<0)
由对称轴所以最大值,
如图所示,顶点坐标为,
由抛物线的对称*可得:抛物线始终与x轴的另一个交点为:,
∴即常函数直线y=p,且p>0
∴0<y≤,
由图象得当0<y≤时,<x<,
其中x为整数时,,
∴一元二次方程(p>0)有整数解,
方程的解一定为:中的一个或两个,
又∵与,与,与x=0关于直线成轴对称,
而当时,直线y=p恰好过抛物线顶点.
所以p值可以有个.
故选:.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与x轴及直线y=p(p>0)的交点横坐标与一元二次方程的根的关系,掌握利用数形结合的思想解题是关键.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:选择题