如图,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.(1)求*:BC...
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问题详情:
如图,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.
(1)求*:BC是⊙O的切线;
(2)若OA=5,OP=3,求CB的长;
(3)设△AOP的面积是S1,△BCP的面积是S2,且.若⊙O的半径为4,BP=,求tan∠CBP.
【回答】
【解析】(1)*:连接OB,如图,
∵OP⊥OA,
∴∠AOP=90°,
∴∠A+∠APO=90°,
∵CP=CB,
∴∠CBP=∠CPB,
而∠CPB=∠APO,
∴∠APO=∠CBP,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:设BC=x,则PC=x,
在Rt△OBC中,OB=OA=5,OC=CP+OP=x+3,
∵OB2+BC2=OC2,
∴52+x2=(x+3)2,
解得x=,
即BC的长为;
(3)解:如图,作CD⊥BP于D,
∵PC=PB,
∴PD=BD=PB=,
∵∠PDC=∠AOP=90°,∠APO=∠CPD,
∴△AOP∽△PCD,
∵,
∴,
∴,
∵OA=4,
∴CD=,
∴tan∠CBP==2.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题