如圖，直四稜柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是...
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問題詳情：
如圖，直四稜柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．
（1）*：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
【回答】
（1）見解析；（2）
.
【分析】
（1）利用三角形中位線和
可*得
，*得四邊形
為平行四邊形，進而*得
，根據線面平行判定定理可*得結論；（2）以菱形
對角線交點為原點可建立空間直角座標系，通過取
中點
，可*得
平面
，得到平面
的法向量
；再通過向量法求得平面
的法向量
，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的餘弦值，進而可求得所求二面角的正弦值.
【詳解】
（1）連線
，
，
分別為
，
中點 
為
的中位線
且
又
為
中點，且
且
四邊形
為平行四邊形
，又
平面
，
平面
平面
（2）設
，
由直四稜柱*質可知：
平面
四邊形
為菱形 
則以
為原點，可建立如下圖所示的空間直角座標系：
則：
，
，
，D（0，-1,0）
取
中點
，連線
，則
四邊形
為菱形且
為等邊三角形 
又
平面
，
平面
平面
，即
平面
為平面
的一個法向量，且
設平面
的法向量
，又
，
，令
，則
，
二面角
的正弦值為：
【點睛】
本題考查線面平行關係的*、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關鍵是能夠利用垂直關係建立空間直角座標系，從而通過求解法向量夾角的餘弦值來得到二面角的正弦值，屬於常規題型.
知識點：空間中的向量與立體幾何
題型：解答題
