如圖，在平面直角座標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點...
問題詳情：
如圖，在平面直角座標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連線DP、DA．
（1）請用含t的代數式表示出點D的座標；
（2）求t為何值時，△DPA的面積最大，最大為多少？
（3）在點P從O向A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
（4）請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長．
【回答】
【解答】解：（1）∵點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向
點A勻速運動，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
設CP的中點為F，過D點作DE⊥OA，垂足為E，
則F點的座標為（
，1），
∵F點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，
∴∠CPD=90°，
∴∠DPE+∠OPC=90°，
又∵∠POC=90°，∠OCP+∠OPC=90°，
∴∠OCP=∠EPD，
∴△OCP∽△EPD，
∵PD：CP=1：2，
∴DE：PO=PE：CO=PD：CP=1：2，
∴DE=
PO=
，PE=
CO=1，
∴D點座標為（t+1，
）；
（2）∵D點座標為（t+1，
），OA=4，
∴S△DPA=
AP×
=
（4﹣t）×
=
（4t﹣t2）=﹣
（t﹣2）2+1，
∴當t=2時，S最大=1；
（3）能構成直角三角形．
①當∠PDA=90°時，PC∥AD，
由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，PD2=DE2+PE2，AD2=DE2+AE2，
即（
）2+1+（4﹣t﹣1）2+（
）2=（4﹣t）2，
解得，t=2或t=﹣6（捨去）．
∴t=2秒．
②當∠PAD=90°時，此時點D在AB上，
可知，△COP∽△P
AD，
∴
=
=
，
∴2=
，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
綜上，可知當t為2秒或3秒時，△DPA能成為直角三角形．
（4）當點P在原點O處時，即t=0，對應的D0點為（1，0），
當點D運動時，直線DD0的斜率k=
=
，即無論點D如何運動，直線DD0的斜率為固定值，
即點D的運動軌跡時始終在直線DD0上；
∵kOB=
=
，
∴點D的運動路線與OB平行，
當P運動到點A時，t=4，此時D4點座標為（5，2），
即點D的運動軌跡為線段D0D4
∵點D4與點B、C共線，
∴BD4∥x軸
易得四邊形OD0D4B為平行四邊形，
∵根據點D的運動路線與OB平行且相等，OB=2
，
∴點D運動路線的長為2
．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
