已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：...

问题详情：

已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：

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（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：______；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______个；

（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数；

（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）

【回答】

【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D，

在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C，

∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），

∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C，

∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）交点有点M、O、N，

以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，

以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，

以N为交点有1个，为△ANP与△CNB，

所以，“8字形”图形共有6个；

（3）∵∠D=40°，∠B=36°，

∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，

∴∠OCB﹣∠OAD=4°，

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，

∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，

又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，

∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=（∠OAD﹣∠OCB）+∠D=×（﹣4°）+40°=38°；

（4）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，

所以，∠OCB﹣∠OAD=∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM=∠D﹣∠P，

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，

∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，

∴（∠D﹣∠B）=∠D﹣∠P，

整理得，2∠P=∠B+∠D．

知识点：相交线

题型：综合题