如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为A...
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如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.
(Ⅰ)求*:EF⊥BC;
(Ⅱ)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.
【回答】
解:(Ⅰ)*:由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,﹣1,),D(,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0,,),F(,,0),所以=(,0,﹣),=(0,2,0),因此•=0,所以EF⊥BC.
(Ⅱ)在图中,设平面BFC的一个法向量=(0,0,1),平面BEF的法向量=(x,y,z),又=(,,0),=(0,,),
由得其中一个=(1,﹣,1),
设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,由题意知θ为锐角,则
cosθ=|cos<,>|=||=,
因此sinθ==,即所求二面角正弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题