(2019·海南中考模拟)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),...
问题详情:
(2019·海南中考模拟)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值;(3)点P(4,6).
【解析】
(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0),
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2),
将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6,
解得:a=﹣,
所以抛物线解析式为y=﹣(x﹣6)(x+2)=﹣x2+2x+6;
(2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,
设直线AB解析式为y=kx+b,
将点A(0,6)、B(6,0)代入,得:
,
解得:,
则直线AB解析式为y=﹣x+6,
设P(t,﹣t2+2t+6)其中0<t<6,
则N(t,﹣t+6),
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t,
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN•AG+PN•BM
=PN•(AG+BM)
=PN•OB
=×(﹣t2+3t)×6
=﹣t2+9t
=﹣(t﹣3)2+,
∴当t=3时,△PAB的面积有最大值;
(3)如图2,
∵PH⊥OB于H,
∴∠DHB=∠AOB=90°,
∴DH∥AO,
∵OA=OB=6,
∴∠BDH=∠BAO=45°,
∵PE∥x轴、PD⊥x轴,
∴∠DPE=90°,
若△PDE为等腰直角三角形,
则∠EDP=45°,
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角,即点E与点A重合,
则当y=6时,﹣x2+2x+6=6,
解得:x=0(舍)或x=4,
即点P(4,6).
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与*质等,熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的*质、等腰直角三角形的判定与*质等是解题的关键.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题