已知椭圆C：（）的离心率为，短轴长为4.（1）求椭圆方程；（2）过作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长...
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问题详情：
已知椭圆C：
（
）的离心率为
，短轴长为4.
（1）求椭圆方程；
（2）过
作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长.
【回答】
（1）
（2）直线方程为
，弦长为
【分析】
（1）由已知信息，待定系数即可求解椭圆方程；
（2）设出交点坐标，由点差法，即可求得直线斜率，再求弦长.
【详解】
（1）由椭圆的离心率可得：
，
根据短轴长可得：
，
，
设
，
，
，所以
，
所以椭圆方程为
.
（2）设以点
为中点的弦与椭圆交于
，
，
则
，则
，
分别代入椭圆的方程得，
，
，两式相减可得
，所以
，
故以点
为中点的弦所在直线方程为
；
由
，得
，
所以
，
；
，
，
所以
.
故该直线截椭圆所得弦长为
.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的中点弦问题，涉及弦长的求解，属综合中档题.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
