如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求...

问题详情：

如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．

（1）求*：AB是⊙O的切线；

（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．

【回答】

（1）*：连接OD、CD，

∵CE是⊙O的直径，

∴∠EDC＝90°，

∵DE∥OA，

∴OA⊥CD，

∴OA垂直平分CD，

∴OD＝OC，

∴OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE，

∵DE∥OA，

∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，

∴∠AOD＝∠AOC，

∵AC是切线，

∴∠ACB＝90°，

在△AOD和△AOC中

∴△AOD≌△AOC（SAS），

∴∠ADO＝∠ACB＝90°，

∵OD是半径，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：∵BD是⊙O切线，

∴BD2＝BE•BC，

设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，

∴42＝x（x+6），

解得x＝2或x＝﹣8（舍去），

∴BE＝2，

∴BC＝BE+EC＝8，

∵AD、AC是⊙O的切线，

∴AD＝AC，

设AD＝AC＝y，

在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，

∴（4+y）2＝y2+82，

解得y＝6，

∴AC＝6，

故AC的长为6．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题