如圖,已知拋物線的頂點座標為M(1,4),且經過點N(2,3),與x軸交於A、B兩點(點A在點B左側),與y軸...
問題詳情:
如圖,已知拋物線的頂點座標為M(1,4),且經過點N(2,3),與x軸交於A、B兩點(點A在點B左側),與y軸交於點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若直線y=kx+t經過C、M兩點,且與x軸交於點D,試*四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)點P在拋物線的對稱軸x=1上運動,請探索:在x軸上方是否存在這樣的P點,使以P為圓心的圓經過A、B兩點,並且與直線CD相切?若存在,請求出點P的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)y =-x2+2x+3;(2)*見解析;(3)滿足題意的點P存在,其座標為(1, ).
【解析】(1)解:由拋物線的頂點是M(1,4),
設解析式為y=a(x-1)2+4(a<0)
又拋物線經過點N(2,3),
所以3=a(2-1)2+4,解得a=-1
所以所求拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3
(2)*:直線y=kx+t經過C(0,3)、M(1,4)兩點,
∴,即k=1,t=3,即:直線解析式為y=x+3…4分
求得A(-1,0),D(-3,0),∴AD=2
∵C(0,3), N(2,3)
∴CN=2= AD,且CN∥AD
∴四邊形CDAN是平行四邊形.……………6分
(3)解:假設在x軸上方存在這樣的P點,使以P為圓心的圓經過A、B兩點,並且與直線CD相切,設P(1,u)其中u>0,
則PA是圓的半徑且PA2=u2+22過P做直線CD的垂線,垂足為Q,則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切.
由第(2)小題易得:△MDE為等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,
由P(1,u)得PE=u,PM=|4-u|,PQ=
由PQ2=PA2得方程:=u2+22, ……………………………………8分
解得,捨去負值u=,符合題意的u=,…………9分
所以,滿足題意的點P存在,其座標為(1,).…
知識點:二次函數的圖象和*質
題型:解答題