等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為...

問題詳情：

等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．

（1）若△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，⊙O不動，則經過多少時間△ABC的邊與圓第一次相切？

（2）若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，⊙O的速度為每秒1個單位，則經過多少時間△ABC的邊與圓第一次相切？

（3）若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，⊙O的速度為每秒1個單位，同時△ABC的邊長AB、BC都以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．△ABC的邊與圓第一次相切時，點B運動了多少距離？

【回答】

（1）；（2） ；（3）

【解析】

分析：（1）分析易得，第一次相切時，與斜邊相切，假設此時，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切於點E，連OE並延長，交B′C′於F．由切線長定理易得CC′的長，進而由三角形運動的速度可得*；

（2）設運動的時間為t秒，根據題意得：CC′=2t，DD′=t，則C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的結論列式得出結果；

（3）求出相切的時間，進而得出B點移動的距離．

詳解：（1）假設第一次相切時，△ABC移至△A′B′C′處，

如圖1，A′C′與⊙O切於點E，連接OE並延長，交B′C′於F，

設⊙O與直線l切於點D，連接OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l，

由切線長定理可知C′E=C′D，

設C′D=x，則C′E=x，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠ACB=45°，

∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，

∴△EFC′是等腰直角三角形，

∴C′F=x，∠OFD=45°，

∴△OFD也是等腰直角三角形，

∴OD=DF，

∴x+x=1，則x=-1，

∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-（-1）=5-，

∴點C運動的時間為；

則經過秒，△ABC的邊與圓第一次相切；

（2）如圖2，設經過t秒△ABC的邊與圓第一次相切，△ABC移至△A′B′C′處，⊙O與BC所在直線的切點D移至D′處，

A′C′與⊙O切於點E，連OE並延長，交B′C′於F，

∵CC′=2t，DD′=t，

∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，

由切線長定理得C′E=C′D′=4-t，

由（1）得：4-t=-1，

解得：t=5-，

答：經過5-秒△ABC的邊與圓第一次相切；

（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，

則C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t，

由切線長定理得C′E=C′D′=4-1.5t，

由（1）得：4-1.5t=-1，

解得：t=，

∴點B運動的距離為2×=．

點睛：本題要求學生熟練掌握圓與直線的位置關係，並結合動點問題進行綜合分析，比較複雜，難度較大，考查了學生數形結合的分析能力．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題