若函數f(x)=2x2﹣lnx在其定義域的一個子區間(k﹣1,k+1)上不是單調函數,則實數k的取值範圍( ...
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問題詳情:
若函數f(x)=2x2﹣lnx在其定義域的一個子區間(k﹣1,k+1)上不是單調函數,則實數k的取值範圍( )
A.[1,) B.(﹣∞,﹣) C.(,+∞) D.(,)
【回答】
A. 【考點】利用導數研究函數的單調*;函數的單調*及單調區間.
【專題】導數的綜合應用.
【分析】求出函數的定義域和導數,判斷函數的單調*和極值,即可得到結論.
【解答】解:函數的定義域為(0,+∞),
∴函數的f′(x)=4x﹣=,
由f′(x)>0解得x>,此時函數單調遞增,
由f′(x)<0解得0<x<,此時函數單調遞減,
故x=時,函數取得極小值.
①當k=1時,(k﹣1,k+1)為(0,2),函數在(0,)上單調減,在(,2)上單調增,此時滿足題意;
②當k>1時,∵函數f(x)=2x2﹣lnx在其定義域的一個子區間(k﹣1,k+1)內不是單調函數,
∴x=在(k﹣1,k+1)內,
即,即,即<k<,
此時1<k<,
綜上1≤k<,
故選:A
【點評】本題主要考查函數的單調*的應用,求函數的導數和極值是解決本題的關鍵.
知識點:基本初等函數I
題型:選擇題