如圖,直線交y軸於點A,交x軸於點C,拋物線經過點A,點C,且交x軸於另一點B. (1)直接寫出點A,點B...
問題詳情:
如圖,直線交y軸於點A,交x軸於點C,拋物線經過點A,點C,且交x軸於另一點B.
(1)直接寫出點A,點B,點C的座標及拋物線的解析式;
(2)在直線上方的拋物線上有一點M,求四邊形面積的最大值及此時點M的座標;
(3)將線段繞x軸上的動點順時針旋轉90°得到線段,若線段與拋物線只有一個公共點,請結合函數圖象,求m的取值範圍.
【回答】
(1)A(0,2),B(﹣2,0),C(4,0),拋物線的解析式是;(2)四邊形面積的最大值為8,點M的座標為(2,2);(3)或.
【解析】(1)對直線,分別令x=0,y=0求出相應的y,x的值即得點A、C的座標,根據待定係數法即可求出拋物線的解析式,利用拋物線的對稱*即可求出點B的座標;
(2)過點M作ME⊥x軸於點E,交直線AC於點F,如圖1所示.設點M的橫座標為m,則MF的長可用含m的代數式表示,然後根據S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC即可得出S四邊形ABCM關於m的函數關係式,再利用二次函數的*質即可求出四邊形面積的最大值及點M的座標;
(3)當m>0時,分旋轉後點與點落在拋物線上時,分別畫出圖形如圖2、圖3,分別用m的代數式表示出點與點的座標,然後代入拋物線的解析式即可求出m的值,進而可得m的範圍;當m<0時,用同樣的方法可再求出m的一個範圍,從而可得結果.
【詳解】
解:(1)對直線,當x=0時,y=2,當y=0時,x=4,
∴點A的座標是(0,2),點C的座標是(4,0),
把點A、C兩點的座標代入拋物線的解析式,得:
,解得:,
∴拋物線的解析式為,
∵拋物線的對稱軸是直線,C(4,0),
∴點B的座標為(﹣2,0);
∴A(0,2),B(﹣2,0),C(4,0),拋物線的解析式是;
(2)過點M作ME⊥x軸於點E,交直線AC於點F,如圖1所示.
設M(m,),則F(m,),
∴,
∴S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC
=
,
∵0<m<4,
∴當m=2時,四邊形面積最大,最大值為8,此時點M的座標為(2,2);
(3)若m>0,當旋轉後點落在拋物線上時,如圖2,線段與拋物線只有一個公共點,
∵點的座標是(m+2,m),
∴,解得:或(捨去);
當旋轉後點落在拋物線上時,如圖3,線段與拋物線只有一個公共點,
∵點的座標是(m,m),
∴,解得:m=2或m=﹣4(捨去);
∴當m>0時,若線段與拋物線只有一個公共點,m的取值範圍是:;
若m<0,當旋轉後點落在拋物線上時,如圖4,線段與拋物線只有一個公共點,
∵點的座標是(m,m),
∴,解得:m=﹣4或m=2(捨去);
當旋轉後點落在拋物線上時,如圖5,線段與拋物線只有一個公共點,
∵點的座標是(m+2,m),
∴,解得: 或(捨去);
∴當m<0時,若線段與拋物線只有一個公共點,m的取值範圍是:;
綜上,若線段與拋物線只有一個公共點,m的取值範圍是:或.
【點睛】本題是二次函數的綜合題,主要考查了待定係數法求二次函數的解析式、旋轉的*質、一元二次方程的解法、二次函數的圖象與*質以及拋物線上點的座標特點等知識,具有較強的綜合*,屬於中考壓軸題,熟練掌握二次函數的圖象與*質、靈活應用數形結合的思想是解題的關鍵.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題