如圖,已知直線與拋物線:相交於和點兩點.⑴.求拋物線的函數表達式;⑵.若點是位於直線上方拋物線上的一動點,以為...
問題詳情:
如圖,已知直線與拋物線: 相交於和點兩點.
⑴.求拋物線的函數表達式;
⑵.若點是位於直線上方拋物線上的一動點,以為相鄰兩邊作平行四邊形,當平行四邊形的面積最大時,求此時四邊形的面積及點的座標;
⑶.在拋物線的對稱軸上是否存在定點,使拋物線上任意一點到點的距離等於到直線的距離,若存在,求出定點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
考點:二次函數的圖象及其*質、待定係數法、數學的建模思想、勾股定理、距離公式等.
分析:
本題的⑴利用“待定係數法”即可求出二次函數的解析式;本題的⑵抓住建立平行四邊形的面積是△的2倍,所以以△的面積建立一個二次函數來求出其最大面積,再進一步求出平行四邊形的最大面積;本題的⑶問主要先假設存在,再在此基礎上從特殊點切入利用距離公式進行探究其存在的可能*.
略解:
⑴. ∵和點兩點在拋物線上
∴
解得
∴拋物線的表達式為:······ 4分
⑵. 設直線的解析式為
∵和點在直線上
∴ 解得 ∴直線的解析式為····· 5分
如圖所示,過作軸交於
設 ,則 ( )
∴,
∴△=△+=
∴△=
∴當 ,△的面積有最大值················ 8分
∴□MANB=△= ,此時.·············· 9分
⑶.存在. . ························ 10分
理由如下:令拋物線頂點為 ,則 ;則頂點到直線的距離為;
設,再設
設到直線的距離為,則
∵為拋物線上任意一點都有
∴當與頂點重合時,也有;則 ,即頂點到直線的距離為 .
∴ ,此時
∴······························· 12分
∵ ∴
∵,
∴
整理化簡可得∴當時,無論取任何實數,均有.··· 14分
點評:
本題的⑴問利用待定係數法即可獲得解決;本
題⑵問是數學建模思想的運用,本問比較巧妙的是
知識點:各地中考
題型:綜合題