已知數列的各項均為正數，，為自然對數的底數．（Ⅰ）求函數的單調區間，並比較與的大小；（Ⅱ）計算，，，由此推測計...
來源：國語幫 2.89W
問題詳情：
已知數列
的各項均為正數，
，
為自然對數的底數．
（Ⅰ）求函數
的單調區間，並比較
與
的大小；
（Ⅱ）計算
，
，
，由此推測計算
的公式，並給出*；
（Ⅲ）令
，數列
，
的前
項和分別記為
,
, *：
．
【回答】
（Ⅰ）
的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
．
；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．
【解析】
（Ⅰ）
的定義域為
，
．
當
，即
時，
單調遞增；
當
，即
時，
單調遞減．
故
的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
．
當
時，
，即
．
令
，得
，即
． ①
（Ⅱ）
；
；
．
由此推測： 
②
下面用數學歸納法*②．
（1）當
時，左邊
右邊
，②成立．
（2）假設當
時，②成立，即
．
當
時，
，
由歸納假設可得
．
所以當
時，②也成立．
根據（1）（2），可知②對一切正整數
都成立．
（Ⅲ）由
的定義，②，算術-幾何平均不等式，
的定義及①得
．
即
．
考點：導數的應，數列的概念，數學歸納法，基本不等式，不等式的*．
知識點：導數及其應用
題型：解答題
