已知函數，其導函數的最大值爲.（1）求實數的值；（2）若，*：.
來源：國語幫 3.03W
問題詳情：
已知函數
，其導函數
的最大值爲
.
（1）求實數
的值；
（2）若
，*：
.
【回答】
【詳解】（1）由題意，函數
的定義域爲
，其導函數
記
則
.
當
時，
恆成立，所以
在
上單調遞增，且
.
所以
，有
，故
時不成立；
當
時，若
，則
；若
，則
.
所以
在
單調遞增，在
單調遞減。
所以
.
令
，則
.
當
時，
；當
時，
.所以
在
的單減，在
單增.
所以
，故
.
（2）當
時，
，則
.
由（1）知
恆成立，
所以在上單調遞減，
且
，
不妨設
，則
，
欲*
，只需*
，因爲在上單調遞減，
則只需*
，又因爲
，
則只需*
，即
.
令
（其中
），且
.
所以欲*
，只需*
，
由
，
整理得：
，
，
所以
在區間
上單調遞增，
所以
，
，
所以函數
在區間上單調遞減，
所以有
，，故
.
【點睛】本題考查利用導數研究函數的最值問題，涉及分類討論的數學思想，構造函數解決極值點偏移問題，題目較綜合，屬於難題.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
