點A，B，C，D在同一個球的球面上，，，若四面體ABCD體積的最大值爲，則這個球的表面積爲（   ）A．   ...

問題詳情：

點A，B，C，D在同一個球的球面上，，，若四面體ABCD體積的最大值爲，則這個球的表面積爲（    ）

A．                   B．                        C．                     D．

【回答】

D

【解析】

根據題意，畫出示意圖，結合三角形面積及四面積體積的最值，判斷頂點D的位置；然後利用勾股定理及球中的線段關係即可求得球的半徑，進而求得球的面積。

【詳解】

根據題意，畫出示意圖如下圖所示

因爲 ，所以三角形ABC爲直角三角形，面積爲 ，其所在圓面的小圓圓心在斜邊AC的中點處，設該小圓的圓心爲Q

因爲三角形ABC的面積是定值，所以當四面體ABCD體積取得最大值時，高取得最大值

即當DQ⊥平面ABC時體積最大

所以

所以

設球心爲O，球的半徑爲R，則

 即

解方程得

所以球的表面積爲

所以選D

【點睛】

本題考查了空間幾何體的外接球面積的求法，主要根據題意，正確畫出圖形並判斷點的位置，屬於難題。

知識點：空間幾何體

題型：選擇題