如圖，在平面直角座標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交AC於點D，動點P在拋物線對稱軸上，動點Q在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當PO+PC的值最小時，求點P的座標；

（3）是否存在以A，C，P，Q爲頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出P，Q的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴A（4，0），C（0，3），

∵拋物線經過O、A兩點，

∴拋物線的頂點的橫座標爲2，

∵頂點在BC邊上，

∴拋物線頂點座標爲（2，3），

設拋物線解析式爲y=a（x﹣2）2+3，

把（0，0）座標代入可得0=a（0﹣2）2+3，解得a=，

∴拋物線解析式爲y=（x﹣2）2+3，

即y=x2+3x；

（2）連接PA，如圖，

∵點P在拋物線對稱軸上，

∴PA=PO，

∴PO+PC=PA+PC．

當點P與點D重合時，PA+PC=AC；

當點P不與點D重合時，PA+PC＞AC；

∴當點P與點D重合時，PO+PC的值最小，

設直線AC的解析式爲y=kx+b，

根據題意，得，解得

∴直線AC的解析式爲y=﹣x+3，

當x=2時，y=﹣x+3=，則D（2，），

∴當PO+PC的值最小時，點P的座標爲（2，）；

（3）存在．

當以AC爲對角線時，當四邊形AQCP爲平行四邊形，點Q爲拋物線的頂點，即Q（2，3），則P（2，0）；

當AC爲邊時，當四邊形AQPC爲平行四邊形，點C向右平移2個單位得到P，則點A向右平移2個單位得到點Q，則Q點的橫座標爲6，當x=6時，y=x2+3x=﹣9，此時Q（6，﹣9），則點A（4，0）向右平移2個單位，向下平移9個單位得到點Q，所以點C（0，3）向右平移2個單位，向下平移9個單位得到點P，則P（2，﹣6）；

當四邊形APQC爲平行四邊形，點A向左平移2個單位得到P，則點C向左平移2個單位得到點Q，則Q點的橫座標爲﹣2，當x=﹣2時，y=x2+3x=﹣9，此時Q（﹣2，﹣9），則點C（0，3）向左平移2個單位，向下平移12個單位得到點Q，所以點A（4，0）向左平移2個單位，向下平移12個單位得到點P，則P（2，﹣12）；

綜上所述，P（2，0），Q（2，3）或P（2，﹣6），Q（6，﹣9）或P（2，﹣12），Q（﹣2，﹣9）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題