如圖,爲圓錐的頂點,是圓錐底面的圓心,爲底面直徑,.是底面的內接正三角形,爲上一點,.(1)*:平面;(2)...
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問題詳情:
如圖,爲圓錐的頂點,是圓錐底面的圓心,爲底面直徑,.是底面的內接正三角形,爲上一點,.
(1)*:平面;
(2)求二面角的餘弦值.
【回答】
(1)*見解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)要*平面,只需*,即可;
(2)以O爲座標原點,OA爲x軸,ON爲y軸建立如圖所示的空間直角座標系,分別算出平面的法向量爲,平面的法向量爲,利用公式計算即可得到*.
【詳解】(1)由題設,知爲等邊三角形,設,
則,,所以,
又爲等邊三角形,則,所以,
,則,所以,
同理,又,所以平面;
(2)過O作∥BC交AB於點N,因爲平面,以O爲座標原點,OA爲x軸,ON爲y軸建立如圖所示的空間直角座標系,
則,
,,,
設平面的一個法向量爲,
由,得,令,得,
所以,
設平面的一個法向量爲
由,得,令,得,
所以
故,
設二面角的大小爲,則.
【點晴】本題主要考查線面垂直的*以及利用向量求二面角的大小,考查學生空間想象能力,數學運算能力,是一道容易題.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題