已知函數（爲自然對數的底數）.（1）求函數的零點，以及曲線在處的切線方程；（2）設方程（）有兩個實數根，，求*...
來源：國語幫 1.45W
問題詳情：
已知函數
（
爲自然對數的底數）.
（1）求函數
的零點
，以及曲線
在
處的切線方程；
（2）設方程
（
）有兩個實數根
，
，求*：
.
【回答】
（1）
，
（2）*見解析
【解析】
（1）由
求得函數零點，由導數的幾何意義可求得切線方程；
（2）根據導函數研究出函數的單調*，只有在
時，
，因此
，考查（1）中切線，先*
（
），只要構造函數
在
上單調遞增，易得*，方程
的解爲
，
（不妨設
，則
），要*不等式變形爲*
，即*
，由
，構造函數，結合導數知識可*．
【詳解】（1）由
，得
，∴函數的零點是
.
.
曲線
在
處的切線方程爲
.
，
，
∴曲線
在
處的切線方程爲
（2）
.
當
時，
；當
時，
.
∴
的單調遞增區間爲
，單調遞減區間爲
.
由（1）知，當
或
時，
；當
時，
.
下面*：當
時，
.
當
時，
.
易知，
在
上單調遞增，
而
，
∴
對
恆成立，
∴當
時，
.
由
得
.記
.
不妨設
，則
，
∴
.
要*
，只要*
，即*
.
又∵
，∴只要*
，即
.
∵
，即*
.
令
.
當
時，
，
爲單調遞減函數；
當
時，
，
爲單調遞增函數.
∴
，∴
，
∴
【點睛】本題考查函數的零點，考查導數的幾何意義，考查用導數*不等式．本題中不等式的*中對根
的處理採取了兩種不同的方法，設
，由函數知識得
，
利用
與切線
的交點橫座標
＝
放縮爲*
，
直接用
與
的解來表示，再結合函數知識獲得*，轉化與化歸思想在這裏得到進一步的體現．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
