已知函数,.(Ⅰ)若直线恰好为曲线的切线时,求实数的值;(Ⅱ)当,时(其中无理数),恒成立,试确定实数的取值范...
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问题详情:
已知函数,.
(Ⅰ)若直线恰好为曲线的切线时,求实数的值;
(Ⅱ)当,时(其中无理数),恒成立,试确定实数的取值范围.
【回答】
(Ⅰ).(Ⅱ)实数的取值范围是[.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)切点处的导函数值,为切线的斜率.因此,设切点为,可得,即,
由(1)解得或.分别代人(2)讨论得到.
(Ⅱ)由得: (4),
(Ⅱ)由得: (4),
由知:在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以, 的最小值为,
所以不等式(4)可化为:; (8分)
设,,,
当,时,,所以;
当,1)时,,所以;
所以在上单调递减,在[1,]上单调递增,
所以,又,,
,又,所以,
所以,,
所以,当,时,恒成立时实数的取值范围是[. (13分)
备注:解答题的其它解法可相应给分。
考点:应用导数研究函数的单调*、最(极)值,转化与化归思想,导数的几何意义.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题