已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).(1)求抛物线的...
问题详情:
已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1, 0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
(4)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
分析:(1)因为抛物线经过点A(﹣4,0),B(1,0),所以可以设抛物线为y=﹣(x+4)(x﹣1),展开即可解决问题.
(2)先*∠ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题.
(3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题.
解:(1)抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣1),即y=﹣x2﹣x+2;
(2)存在.
当x=0,y═﹣x2﹣x+2=2,则C(0,2),
∴OC=2,
∵A(﹣4,0),B(1,0),
∴OA=4,OB=1,AB=5,
当∠PCB=90°时,
∵AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,
∴当点P与点A重合时,△PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(﹣4,0);
当∠PBC=90°时,PB∥AC,如图1,
设直线AC的解析式为y=mx+n,
把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,
∴直线AC的解析式为y=x+2,
∵BP∥AC,
∴直线BP的解析式为y=x+p,
把B(1,0)代入得+p=0,解得p=﹣,
∴直线BP的解析式为y=x﹣,
解方程组得或,此时P点坐标为(﹣5,﹣3);
综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);
(3)存在点E,设点E坐标为(m,0),F(n,﹣n2﹣n+2)
①当AC为边,CF1∥AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(﹣7,0),
②当AC为边时,AC∥EF,易知点F纵坐标为﹣2,
∴﹣n2﹣n+2=﹣2,解得n=,得到F2(,﹣2),F3(,﹣2),
根据中点坐标公式得到: =或=,
解得m=或,
此时E2(,0),E3(,0),
③当AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E4(﹣1,0),
综上所述满足条件的点E为(﹣7,0)或(﹣1,0)或(,﹣2)或(,﹣2).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题