質點或光滑球以某一角度入到硬質表面上發生的反跳，通常呈現“反角等於入*角”的現象．但是對於一種粗糙的硬質橡...

來源：國語幫 1.21W

問題詳情：

質點或光滑球以某一角度入*到硬質表面上發生的反跳，通常呈現“反*角等於入*角”的現象．但是對於一種粗糙的硬質橡皮球，當其與硬質表面碰撞且滿足動能守恆時，它在反跳過程中卻表現出許多奇異的現象，這種粗糙的高**人造硬質橡皮球稱為超級**球，簡稱為超球．這種超球在硬質表面上的反跳幾乎是完全**的，用它可以直觀地演示粗糙物的**碰撞現象．試回答下列問題：

（1）若將一個小超球放在一個大超球的頂上，讓這兩個超球一起自由下落並撞擊地面，就會發現小超球又跳回到空中，如果大超球與小超球的半徑之比選擇適當，那麼小超球將反跳的高度大約是原先下落高度的9倍，如圖1所示．若將大超球、小超球和乒乓球緊貼在一起自由下落，如圖2所示，如果這些球的質量選擇恰當，那麼在它們碰撞地面後，乒乓球將反跳的高度幾乎是原先下落高度的49倍．試建立力學模型進行説明

（2）如果超球以一定的速度和繞水平軸旋轉的角速度與硬質地面碰撞，旋轉的超球在、兩點之間來回反跳，如圖3所示．試説明發生這種現象的條件

【回答】

（1）説明見解析（2）説明見解析

【解析】

（1）在大超球碰撞地面之前，兩超球均自由下落，它們之間未發生碰撞，大超球先與地面相碰撞，隨後立即與小超球發生碰撞，假設大超球與地面以及超球間的碰撞都是完全**的．兩超球自由下落結束時，都有向下的速度，由機械能守恆可得；大超球與地面**碰撞後，速度大小不變，方向向上．設大超球與小超球**碰撞後的速度大小分別為和，且方向向上．由動量守恆和機械能守恆，可得

①

②

式中，為大超球的質量；為小超球的質量

由式①與式②，可解得， ③

碰撞後小超球以初速度為豎直向上運動，由機械能守恆可得小超球反跳的高度：

④

即得 ⑤

若選擇大超球半徑為小超球半徑的10倍，即，則．於是，由式⑤得到

對於題圖2所示的三個緊貼的球，設由上至下三個球的質量分別為、和，且滿足．根據前面的分析，當大球與地面碰撞後，立即與球發生碰撞，由式③可知，當球以相對於地面的速度反跳時，小球正以速度下落題圖2-b1．在相對球為瞬時靜止的慣*系裏，小球相對於球以速度與球相碰撞（題圖2-b2）．由於，碰撞後球相對於球以速度反跳（題圖2-b3），即小球相對於地面以速度反跳（題圖2-b4）．因此，小球反跳的高度為