如圖,矩形和梯形所在平面互相垂直，，,.                 （Ⅰ）求*：平面;（Ⅱ）當的長為何值...

問題詳情：

如圖,矩形和梯形所在平面互相垂直，，,.                 

（Ⅰ）求*：平面;

（Ⅱ）當的長為何值時,二面角的大小為60°．

【回答】

解：

方法一：（1）*：在中，，，，，

所以.又因為在中，，所以.

由已知條件知，平面，所以.

又，所以平面……6分

（2）過點B作交延長線於，連接.

由平面平面，平面平面，AB⊥BC，

得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF．所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角．

在Rt△CEF中，因為EF=2，CF=4，EC=

∴∠CFE=60°，由BE∥CF，得∠BEH=60°.又在Rt△BHE中，BE=3，

∴．

由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，

所以當時，二面角A-EF-C的大小為60°．…….12分

方法二：（１）同解法一

（２）如圖，以點C為座標原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角座標系C-xyz．

設AB=a（a >0），則C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(， 3，0），F（0，4，0）．從而

設平面AEF的法向量為，由得，

取x=1，則，即.

不妨設平面EFCB的法向量為，

由條件，得，

解得．所以當時，二面角A-EF-C的大小為60°．…12分

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題