已知三条直线l1:ax﹣y+a=0,l2:x+ay﹣a(a+1)=0,l3:(a+1)x﹣y+a+1=0,a>...
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问题详情:
已知三条直线l1:ax﹣y+a=0,l2:x+ay﹣a(a+1)=0,l3:(a+1)x﹣y+a+1=0,a>0.
(1)*:这三条直线共有三个不同的交点;
(2)求这三条直线围成的三角形的面积的最大值.
【回答】
【考点】IM:两条直线的交点坐标.
【分析】(1)分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C,且判断三点的坐标各不相同即可;
(2)根据题意画出图形,由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上,除A、C点外;由此求出△ABC的面积最大值.
【解答】解:(1)*:直线l1:ax﹣y+a=0恒过定点A(﹣1,0),
直线l3:(a+1)x﹣y+a+1=0恒过定点A(﹣1,0),
∴直线l1与l3交于点A;
又直线l2:x+ay﹣a(a+1)=0不过定点A,
且l1与l2垂直,必相交,设交点为B,则B(,);
l2与l3相交,交点为C(0,a+1);
∵a>0,∴三点A、B、C的坐标不相同,
即这三条直线共有三个不同的交点;
(2)根据题意,画出图形如图所示;
AB⊥BC,
∴点B在以AC为直径的半圆上,除A、C点外;
则△ABC的面积最大值为
S=•|AC|•|AC|=×(1+(a+1)2)=a2+a+.
知识点:直线与方程
题型:解答题