已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;(2)当,时,①*:函数恰有一个零点...
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问题详情:
已知函数,其中,为自然对数的底数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)当,时,
①*:函数恰有一个零点;
②设为的极值点,为的零点,*:.
参考数据:
【回答】
解:(1)若在恒成立,即恒成立,
令.
当时,;当时,.
即在上单调递减;在上单调递增.
故.
(2)当时,,
①(i)当时,,即在上没有零点.
(ii)当时,令,则,
所以在上单调递增,,,
所以在上存在唯一实根,故在上单调递减,在上单调递增.
又因为,,,
所以在上有且只有一个零点.
综上,函数在上恰有一个零点;
②因为为的极值点,所以,即.
因为的导函数为在上恒成立,所以在上单调递减,因此恒成立,
即对任意成立,所以,,
所以有,即有成立.
令,,,所以在上单调递增,,,在上有且仅有一个零点,设为.
而,所以,故.
由①,所以,
故.
知识点:导数及其应用
题型:解答题