如图,(图1,图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角...
问题详情:
如图,(图1,图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F,交BC的延长线于点N, FN⊥BC.
(1)若点E是BC的中点(如图1),AE与EF相等吗?
(2)点E在BC间运动时(如图2),设BE=x,△ECF的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值.
【回答】
(1)AE=EF;(2)①y=-x2+2x(0<x<4),②当x=2,y最大值=2.
【解析】
(1)在AB上取一点G,使AG=EC,连接GE,利用ASA,易*得:△AGE≌△ECF,则可*得:AE=EF;
(2)同(1)可*AE=EF,利用AAS*△ABE≌△ENF,根据全等三角形对应边相等可得FN=BE,再表示出EC,然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y,然后整理再根据二次函数求解最值问题.
【详解】
(1)如图,在AB上取AG=EC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
有∵AG=EC ,∴BG=BE ,
又∵∠B=90°,
∴∠AGE=135°,
又∵∠BCD=90°,CP平分∠DCN,
∴∠ECF=135°,
∵∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在△AGE和△ECF中,
,
∴△AGE≌△ECF,
∴AE=EF;
(2)①∵由(1)*可知当E不是中点时同理可*AE=EF,
∵∠BAE=∠NEF,∠B=∠ENF=90°,
∴△ABE≌△ENF,
∴FN=BE=x,
∴S△ECF= (BC-BE)·FN,
即y= x(4-x),
∴y=- x2+2x(0<x<4),
②,
当x=2,y最大值=2.
【点睛】
本题考查了正方形的*质,全等三角形的判定与*质,二次函数的最值问题,综合*较强,正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键.
知识点:实际问题与二次函数
题型:解答题