如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交於A、B兩點（A在B的左側），與y軸交於點N，過A點的直線l：y＝kx...

問題詳情：

如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交於A、B兩點（A在B的左側），與y軸交於點N，過A點的直線l：y＝kx+n與y軸交於點C，與拋物線y＝﹣x2+bx+c的另一個交點為D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P點為拋物線y＝﹣x2+bx+c上一動點（不與A、D重合）．

（1）求拋物線和直線l的解析式；

（2）當點P在直線l上方的拋物線上時，過P點作PE∥x軸交直線l於點E，作PF∥y軸交直線l於點F，求PE+PF的最大值；

（3）設M為直線l上的點，探究是否存在點M，使得以點N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

【解答】解：（1）將點A、D的座標代入直線表示式得：，解得：，

故直線l的表示式為：y＝﹣x﹣1，

將點A、D的座標代入拋物線表示式，

同理可得拋物線的表示式為：y＝﹣x2+3x+4；

（2）直線l的表示式為：y＝﹣x﹣1，則直線l與x軸的夾角為45°，

即：則PE＝PE，

設點P座標為（x，﹣x2+3x+4）、則點F（x，﹣x﹣1），

PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，

∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，

當x＝2時，其最大值為18；

（3）NC＝5，

①當NC是平行四邊形的一條邊時，

設點P座標為（x，﹣x2+3x+4）、則點M（x，﹣x﹣1），

由題意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，

解得：x＝2或0或4（捨去0），

則點P座標為（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；

②當NC是平行四邊形的對角線時，

則NC的中點座標為（﹣，2），

設點P座標為（m，﹣m2+3m+4）、則點M（n，﹣n﹣1），

N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形，則NC的中點即為PM中點，

即：﹣＝，2＝，

解得：m＝0或﹣4（捨去0），

故點P（﹣4，3）；

故點P的座標為：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．

知識點：各地會考

題型：綜合題