已知函式，．（Ⅰ）若直線恰好為曲線的切線時，求實數的值；（Ⅱ）當，時（其中無理數），恆成立，試確定實數的取值範...
來源：國語幫 1.77W
問題詳情：
已知函式
，
．
（Ⅰ）若直線
恰好為曲線
的切線時，求實數
的值；
（Ⅱ）當
，
時（其中無理數
），
恆成立，試確定實數
的取值範圍．
【回答】
（Ⅰ）
.（Ⅱ）實數
的取值範圍是[
．
【解析】
試題分析：（Ⅰ）切點處的導函式值，為切線的斜率.因此，設切點為
，可得
，即
，
由（1）解得
或
.分別代人（2）討論得到
.
（Ⅱ）由
得：
（4），
（Ⅱ）由得： （4），
由
知：
在（0,1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
所以, 
的最小值為
，
所以不等式（4）可化為：
； （8分）
設
，
，
，
當
，時，
，所以
；
當
，1）時，
，所以
；
所以
在
上單調遞減，在[1，
]上單調遞增,
所以
，又
，
，
，又
，所以
，
所以，
，
所以，當
，
時，恆成立時實數的取值範圍是[． （13分）
備註：解答題的其它解法可相應給分。
考點：應用導數研究函式的單調*、最（極）值，轉化與化歸思想，導數的幾何意義.
知識點：基本初等函式I
題型：解答題
