設，對1，2，···，n的一個排列，如果當s<t時，有，則稱是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數稱為...

問題詳情：

設，對1，2，···，n的一個排列，如果當s<t時，有，則稱是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數稱為其逆序數．例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數為k的全部排列的個數．

（1）求的值；

（2）求的表示式(用n表示)．

【回答】

（1）2  5

（2）n≥5時，

【解析】

分析：（1）先根據定義利用列舉法確定含三個元素的*中逆序數為2的個數，再利用列舉法確定含四個元素的*中逆序數為2的個數；（2）先尋求含n個元素的*中逆序數為2與含n+1個元素的*中逆序數為2的個數之間的關係，再根據疊加法求得結果.

詳解：解：（1）記為排列abc的逆序數，對1，2，3的所有排列，有

，

所以．

對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數字4新增進去，4在新排列中的位置只能是最後三個位置．

因此，．

（2）對一般的n（n≥4）的情形，逆序數為0的排列只有一個：12…n，所以．

逆序數為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數字調換位置得到的排列，所以．

為計算，當1，2，…，n的排列及其逆序數確定後，將n+1新增進原排列，n+1在新排列中的位置只能是最後三個位置．

因此，．

當n≥5時，

，

因此，n≥5時，．

點睛：探求數列通項公式的方法有觀察(觀察規律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.尋求相鄰項之間的遞推關係，是求數列通項公式的一個有效的方法.

知識點：數列

題型：解答題