我們知道，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．對一個各條邊都相等的凸多邊形（邊數大於3），可以由若...

問題詳情：

我們知道，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．對一個各條邊都相等的凸多邊形（邊數大於3），可以由若干條對角線相等判定它是正多邊形．例如，各條邊都相等的凸四邊形，若兩條對角線相等，則這個四邊形是正方形．

（1）已知凸五邊形ABCDE的各條邊都相等．

①如圖1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求*：五邊形ABCDE是正五邊形；

②如圖2，若AC＝BE＝CE，請判斷五邊形ABCDE是不是正五邊形，並說明理由：

（2）判斷下列命題的真假．（在括號內填寫“真”或“假”）

如圖3，已知凸六邊形ABCDEF的各條邊都相等．

①若AC＝CE＝EA，則六邊形ABCDEF是正六邊形；（　   　）

②若AD＝BE＝CF，則六邊形ABCDEF是正六邊形． （　   　）

【回答】

【解答】（1）①*：∵凸五邊形ABCDE的各條邊都相等，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，

在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、EAB中，，

∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），

∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，

∴五邊形ABCDE是正五邊形；

②解：若AC＝BE＝CE，五邊形ABCDE是正五邊形，理由如下：

在△ABE、△BCA和△DEC中，，

∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），

∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，

在△ACE和△BEC中，，

∴△ACE≌△BEC（SSS），

∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，

∵四邊形ABCE內角和為360°，

∴∠ABC+∠ECB＝180°，

∴AB∥CE，

∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，

∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，

∴∠BAE＝3∠ABE，

同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，

∴五邊形ABCDE是正五邊形；

（2）解：①若AC＝CE＝EA，如圖3所示：

則六邊形ABCDEF是正六邊形；真命題；理由如下：

∵凸六邊形ABCDEF的各條邊都相等，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝EA，

在△AEF、△CAB和△ECD中，，

∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），

∴∠F＝∠B＝∠D，∠FEA＝∠FAE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，

∵AC＝CE＝EA，

∴∠EAC＝∠ECA＝∠AEC＝60°，

設∠F＝∠B＝∠D＝y，∠FEA＝∠FAE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC＝x，

則y+2x＝180°①，y﹣2x＝60°②，

①+②得：2y＝240°，

∴y＝120°，x＝30°，

∴∠F＝∠B＝∠D＝120°，∠FEA＝∠FAE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC＝30°，

∴∠BAF＝∠BCD＝∠DEF＝30°+30°+60°＝120°，

∴∠F＝∠B＝∠D＝∠BAF＝∠BCD＝∠DEF，

∴六邊形ABCDEF是正六邊形；

故*為：真；

②若AD＝BE＝CF，則六邊形ABCDEF是正六邊形；真命題；理由如下：

如圖4所示：連線AE、AC、CE，

在△BFE和△FBC中，，

∴△BFE≌△FBC（SSS），

∴∠BFE＝∠FBC，

∵AB＝AF，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴∠AFE＝∠ABC，

在△FAE和△BCA中，，

∴△FAE≌△BCA（SAS），

∴AE＝CA，

同理：AE＝CE，

∴AE＝CA＝CE，

由①得：六邊形ABCDEF是正六邊形；

故*為：真．

【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正多邊形的判定、全等三角形的判定與*質、等腰三角形的*質、三角形內角和定理等知識；本題綜合*強，有一定難度，*三角形全等是解題的關鍵．

知識點：各地會考

題型：解答題