探究活動一:如圖1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的對稱中心,MN交AB於F,...
問題詳情:
探究活動一:
如圖1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的對稱中心,MN交AB於F,QM交AD於E,線段ME與線段MF的數量關係是 .(不必*,直接給出結論即可)
探究活動二:
如圖2,將上題中的“正方形”改為“矩形”,且AB=mBC,其他條件不變(矩形ABCD和矩形QMNP,∠M=∠B,M是矩形ABCD的對稱中心,MN交AB於F,QM交AD於E),探究並*線段ME與線段MF的數量關係;
探究活動三:
根據前面的探索和圖3,平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中,若AB=mBC,∠M=∠B,M是平行四邊形ABCD的對稱中心,MN交AB於F,QM交AD於E,請探究並*線段ME與線段MF的數量關係.
【回答】
【解答】解:(1)ME=MF.
理由:如圖1,過點M作MH⊥AB於H,MG⊥AD於G,連線AM,[來源:學*科*網Z*X*X*K]
則∠MHF=∠MGE=90°,
∵M是正方形ABCD的對稱中心,
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG,
在正方形ABCD中,∠DAB=90°,而∠MHA=∠MGA=90°,
∴∠EMF=∠HMG=90°,
∴∠FMH=∠EMG,
在△MHF和△MGE中,
∴△MHF≌△MGE(ASA),
∴MF=ME,
故*為:MF=ME;
(2)ME=mMF.
理由:如圖2,過點M作MG⊥AB於G,MH⊥AD於H,
則∠MHE=∠MGF=90°,
在矩形ABCD中,∠A=90°,
∴在四邊形GMHA中,∠GMH=90°,
又∵∠EMF=90°,
∴∠HME=∠GMF,
又∵∠MGF=∠MHE=90°,
∴△MGF∽△MHE,
∴=,
又∵M是矩形ABCD的對稱中心,
∴MG=BC,MH=AB,
∵AB=mBC,
∴==m,
∴ME=mMF;
(3)ME=mMF.
理由:如圖3,過點M作MG⊥AB於G,MH⊥AD於H,
則∠MHE=∠MGF=90°,
在平行四邊形ABCD中,∠A+∠B=180°,而∠EMF=∠B,
∴∠A+∠EMF=180°,
又∵在四邊形AGMH中,∠A+∠HMG=180°,
∴∠EMF=∠GMF,
又∵∠MGF=∠MHE=90°,
∴△MGF∽△MHE,
∴=,
又∵M是矩形ABCD的對稱中心,
∴MG=BC,MH=AB,
∵AB=mBC,
∴===m,
∴ME=mMF.
知識點:相似三角形
題型:綜合題