如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且BD=BC,延長AD到E,且有∠EBD=∠CAB.(1)...
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問題詳情:
如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且BD=BC,延長AD到E,且有∠EBD=∠CAB.
(1)求*:BE是⊙O的切線;
(2)若BC=,AC=5,求圓的直徑AD及切線BE的長.
【回答】
【考點】切線的判定;三角形的外接圓與外心.
【分析】(1)先根據等弦所對的劣弧相等,再結合∠EBD=∠CAB從而得到∠BAD=∠EBD,最後用直徑所對的圓周角為直角即可;
(2)利用三角形的中位線先求出OF,再用平行線分線段成比例定理求出半徑R,最後用切割線定理即可.
【解答】解:如圖,
連線OB,∵BD=BC,
∴∠CAB=∠BAD,
∵∠EBD=∠CAB,
∴∠BAD=∠EBD,
∵AD是⊙O的直徑,
∴∠ABD=90°,OA=BO,
∴∠BAD=∠ABO,
∴∠EBD=∠ABO,
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°,
∵點B在⊙O上,
∴BE是⊙O的切線,
(2)如圖2,
設圓的半徑為R,連線CD,
∵AD為⊙O的直徑,
∴∠ACCD=90°,
∵BC=BD,
∴OB⊥CD,
∴OB∥AC,
∵OA=OD,
∴OF=AC=,
∵四邊形ACBD是圓內接四邊形,
∴∠BDE=∠ACB,
∵∠DBE=∠ACB,
∴△DBE∽△CAB,
∴,
∴,
∴DE=,
∵∠OBE=∠OFD=90°,
∴DF∥BE,
∴,
∴,
∵R>0,
∴R=3,
∵BE是⊙O的切線,
∴BE===.
知識點:各地會考
題型:解答題