某根水平固定的長滑竿上有n(n≥3)個質量相同的滑扣(即可以滑動的圓環)，每相鄰的兩個滑扣(極薄)之間有不可伸...

問題詳情：

某根水平固定的長滑竿上有n(n≥3)個質量相同的滑扣(即可以滑動的圓環)，每相鄰的兩個滑扣(極薄)之間有不可伸長的柔軟輕質細線相連，細線長度均為L，滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恆為滑扣對滑竿正壓力大小的μ倍．開始時所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互擠壓)；今給第1個滑扣一個初速度使其在滑竿上開始向左滑行(平動)；在滑扣滑行的過程中，前、後滑扣之間的細線拉緊後都以共同的速度向前滑行，但最後一個(即第n個)滑扣固定在滑竿邊緣．已知從第1個滑扣開始的(n一1)個滑扣相互之間都依次拉緊，繼續滑行距離l(0<l<L)後靜止，且所有細線拉緊過程的時間間隔極短．求：

（1）滑扣1的初速度的大小；

（2）整個過程中克服摩擦力所做的功；

（3）整個過程中僅僅由於細線拉緊引起的總動能損失．

【回答】

（1）  （2）（3）

【詳解】

（1）為普遍起見，設兩個物體質量分別為m1和m2，初速度分別為v1和0，發生完全非**碰撞後共同速度為v，則碰前的動能

E=    ①

由於細繩拉緊前後時間間隔極短，可以忽略摩擦阻力，故前後動量守恆，有

m1v1=(m1+m2)v  ②

碰後的動能之和(即系統剩餘動能)為

E′=    ③

由①②③式得

E′=   ④

此式為後續計算的通式，後續計算特別簡單，因為質量相等

損失的動能為

ΔE=E－E′=

設第1個滑扣以速度v10開始運動

E0=    ⑤

在第1個滑扣滑動距離L、第1與第2個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統剩餘動能為

E1f=E0－μmgL      ⑥

在第1個滑扣與第2個滑扣之間的細繩剛拉緊後的瞬前，系統剩餘動能為(根據④式)

E20==    ⑦

在第1、2個滑扣共同滑動距離L、第2與第3個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統剩餘動能為

E2f=E20－2μmgL==   ⑧

在第2個滑扣與第3個滑扣之間的細繩剛拉緊後的瞬前，系統剩餘動能為(根據④式)

E30==    ⑨

在第1、2、3個滑扣共同滑動距離L、第3與第4個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統剩餘動能為  E3f=E30－3μmgL=－3μmgL=    ⑩

……

依次類推，在第k個與第k+1個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統剩餘動能為

Ekf==

=    1≤k≤n－2

於是，在第(n－2)個與第(n－1)個滑扣之間的細繩剛拉緊前的瞬間，系統剩餘動能為

E(n－2)f =    ⑾

在第(n－2)個與第(n－1)個滑扣之間的細繩剛拉緊後的瞬間，系統剩餘動能為

E(n－1)0= =     ⑿  

(可類比⑦、⑨，並代入⑾得到)

由⑾知，E(n－2)f >0

>0

E(n－1)f <0

<0，

得

<E0<

本式題目中沒有要求的，相當於給出了待求量的定義域

則從第1個滑扣開始的(n－1)個滑扣都依次拉緊，且可繼續滑行距離l(0<l<L)後靜止．因而有

E(n－1)0= =(n－1) μmgl    (因為要繼續滑行距離l)     ⒀

由⑤⒀得滑扣1的初速度的大小

v10

（2）整個過程中克服摩擦力所做的功為

（3）在整個過程中僅僅由於細線拉緊引起的總能量損失為

知識點：動量守恆定律單元測試

題型：解答題