【問題】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線l平行於AB．∠EDF＝90°，點...

問題詳情：

【問題】

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線l平行於AB．∠EDF＝90°，點D在直線l上移動，角的一邊DE始終經過點B，另一邊DF與AC交於點P，研究DP和DB的數量關係．

【探究發現】

（1）如圖2，某數學興趣小組運用“從特殊到一般”的數學思想，發現當點D移動到使點P與點C重合時，通過推理就可以得到DP＝DB，請寫出*過程；

【數學思考】

（2）如圖3，若點P是AC上的任意一點（不含端點A、C），受（1）的啟發，這個小組過點D作DG⊥CD交BC於點G，就可以*DP＝DB，請完成*過程；

【拓展引申】

（3）如圖4，在（1）的條件下，M是AB邊上任意一點（不含端點A、B），N是*線BD上一點，且AM＝BN，連線MN與BC交於點Q，這個數學興趣小組經過多次取M點反覆進行實驗，發現點M在某一位置時BQ的值最大．若AC＝BC＝4，請你直接寫出BQ的最大值．

【回答】

*：【探究發現】

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC

∴∠CAB＝∠CBA＝45°

∵CD∥AB

∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD

∴∠DCB＝∠DBC＝45°

∴DB＝DC

即DB＝DP

【數學思考】

（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°

∴∠DCG＝∠DGC＝45°

∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，

∵∠BDP＝∠CDG＝90°

∴∠CDP＝∠BDG，且DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，

∴△CDP≌△GDB（ASA）

∴BD＝DP

【拓展引申】

（3）如圖4，過點M作MH⊥MN交AC於點H，連線CM，HQ，

∵MH⊥MN，

∴∠AMH+∠NMB＝90°

∵CD∥AB，∠CDB＝90°

∴∠DBM＝90°

∴∠NMB+∠MNB＝90°

∴∠HMA＝∠MNB，且AM＝BN，∠CAB＝∠CBN＝45°

∴△AMH≌△BNQ（ASA）

∴AH＝BQ

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，

∴AB＝4，AC﹣AH＝BC﹣BQ

∴CH＝CQ

∴∠CHQ＝∠CQH＝45°＝∠CAB

∴HQ∥AB

∴∠HQM＝∠QMB

∵∠ACB＝∠HMQ＝90°

∴點H，點M，點Q，點C四點共圓，

∴∠HCM＝∠HQM

∴∠HCM＝∠QMB，且∠A＝∠CBA＝45°

∴△ACM∽△BMQ

∴

∴

∴BQ＝

∴AM＝2時，BQ有最大值為2．

知識點：各地會考

題型：綜合題