(1)如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,求*:EF=BE+FD;(2)如...
问题详情:
(1)如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,求*:EF=BE+FD;
(2)如图2,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时,仍有EF=BE+FD,说明理由.
(3)如图3,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,AC平分∠BCD,AE⊥BC于E,AF⊥CD交CD延长线于F,若BC=8,CD=3,则CE= .(不需*)
【回答】
(1)详见解析;(2)∠BAD=2∠EAF,理由详见解析;(3)5.5.
【分析】
(1)将△ABE绕点A旋转使得AB与AD重合,然后*△AFG≌△AFE,再利用全等三角形对应的边相等的*质不难*;
(2)首先延长CB至M,使BM=DF,连接AM,构造△ABM≌△ADF,再*△FAE≌△MAE,最后将相等的边进行转化整理即可*.
【详解】
解(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,如图1所示:
则△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠FAE,
在△GAF和△FAE中, , ,
∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+DF,
∴BE+DF=EF.
(2)∠BAD=2∠EAF.理由如下:
如图2所示,延长CB至M,使BM=DF,连接AM,
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,
∴∠D=∠ABM,
在△ABM和△ADF中,,
∴△ABM≌△ADF(SAS)
∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,
在△FAE和△MAE中,,
∴△FAE≌△MAE(SAS),
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,
即EF=BE+DF.
(3)∵AC平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°,AE=AF, 在Rt△ABE和Rt△ADF中, , ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), ∴BE=DF, 同理:Rt△ACE≌Rt△ACF, ∴CE=CF, ∴BC+CD=BE+CE+CF-DF=2CE, ∵BC=8,CD=3, ∴CE=5.5, 故*为:5.5.
【点睛】
此题是四边形综合题,考查了正方形的*质、旋转的*质、全等三角形的判定与*质、角平分线的*质等知识;本题综合*强,有一定难度,*三角形全等是解决问题的关键.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题