如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点,平面.(Ⅰ)*:平面平面;(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的...
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问题详情:
如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点, 平面.
(Ⅰ)*:平面平面;
(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.
【回答】
1.解(Ⅰ)依题意,
所以是正三角形,
又
所以,
因为平面,平面,所以
因为,所以平面
因为平面,所以平面平面
(Ⅱ)取的中点,连接、 ,连接,则
所以是异面直线与所成的角
因为,,
所以 ,,
所以
(Ⅰ)(Ⅱ)解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系
设(),
则
(Ⅰ)设平面的一个法向量为,
则
,取,则,从而,
同理可得平面的一个法向量为,
直接计算知,所以平面平面
(Ⅱ)由即
解得
,
所以异面直线与所成角的余弦值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为
又,设平面的法向量则得
设二面角的平面角为,且为锐角
则
所以二面角的余弦值为
知识点:平面向量
题型:解答题