如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移...
问题详情:
如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿*线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B、E、F三点共线时,两点同时停止运动,此时BF⊥CE.设点E移动的时间为t(秒).
(1)求当t为何值时,两点同时停止运动;
(2)求当t为何值时,EC是∠BED的平分线;
(3)设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
(4)求当t为何值时,△EFC是等腰三角形.(直接写出*)
【回答】
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)B,E,F三点共线时,满足△FED∽△FBC,结合行程问题可以得出关于t的比例式,求出t的值;
(2)∠BEC=∠BFC.可以转化为∠BEC=∠BCE.即BE=BC.得出关于t的方程,求出值;
(3)求S与t之间的函数关系式,可以将四边形BCFE的面积分成S△BCE,S△ECF两部分,结合(1)确定t的取值范围;
(4)根据等腰三角形的*质,分EF=EC,EC=FC,EF=FC三种情况讨论.
【解答】解:(1)当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动,如图所示.
由题意可知:ED=t,BC=10,FD=2t﹣5,FC=2t.
∵ED∥BC,
∴△FED∽△FBC.
∴=.
∴=.
解得t=5.
∴当t=5时,两点同时停止运动;
(2)在Rt△BCF和Rt△CDE中,
∵∠BCF=∠CDE=90°,==2,
∴Rt△BCF∽Rt△CDE.
∴∠BFC=∠CED.
∵AD∥BC,
∴∠BCE=∠CED.若∠BEC=∠BFC,则∠BEC=∠BCE.即BE=BC.
∵52+(10﹣t)2=102,
解得 t1=10+5(舍去),t2=10﹣5.
即当t=10﹣5时,EC是∠BED的平分线.
(3)分两种情况讨论:①当F在线段CD上时:S四边形BCFE=S梯形BCDE﹣S△EDF=(t+10)×5﹣t(5﹣2t)=t2+25;
②当F在CD延长线上时:
S四边形BCFE=S梯形BCDE+S△EDF=(t+10)×5+t(2t﹣5)=﹣t2+25;
∴S=﹣t2+25(0≤t≤5);
(4)△EFC是等腰三角形有三种情况:
①若EF=EC时,则点F只能在CD的延长线上,
∵EF2=(2t﹣5)2+t2=5t2﹣20t+25,
EC2=52+t2=t2+25,
∴5t2﹣20t+25=t2+25.
∴t=5或t=0(舍去);
②若EC=FC时,
∵EC2=52+t2=t2+25,FC2=4t2,
∴t2+25=4t2.
∴t=;
③若EF=FC时,
∵EF2=(2t﹣5)2+t2=5t2﹣20t+25,FC2=4t2,
∴5t2﹣20t+25=4t2.
∴t1=10+5(舍去),t2=10﹣5.
∴当t的值为5,或10﹣5时,△EFC是等腰三角形.
知识点:平行四边形
题型:解答题