联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如...

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联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．

应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数．

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

【回答】

解：应用：①若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.

∵CD为等边三角形的高，

∴AD＝BD，∠PCB＝30°，

∴∠PBD＝∠PBC＝30°，

∴PD＝DB＝AB，

与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC.

②若PA＝PC，连接PA，同理可得PA≠PC.

③若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝AD，

∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°.

探究：∵BC＝5，AB＝3，

①若PB＝PC，设PA＝x，则x2＋32＝(4－x)2，

解得x＝，即PA＝.

②若PA＝PC，则PA＝2.

③若PA＝PB，由图知，在Rt△PAB中，PA为直角边，PB为斜边，

∴PA≠PB.

综上所述，PA＝2或.

知识点：勾股定理

题型：解答题