已知⊙C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被⊙C截得弦AB，以AB為直徑的圓經...
來源：國語幫 1.62W
問題詳情：
已知⊙C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被⊙C截得弦AB，以AB為直徑的圓經過原點.若存在，寫出直線l的方程；若不存在，説明理由.
【回答】
方法一：假設存在這樣的直線l，且設為y＝x＋m.
⊙C化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心C(1，－2)，則AB中點N是直線x－y＋m＝0與y＋2＝－(x－1)的交點，即N(－
，
)，
因為以AB為直徑的圓過原點，所以|AN|＝|ON|.
又CN⊥AB，|CN|＝
.
所以|AN|＝
＝
.
又|ON|＝
，
由|AN|＝|ON|得m＝1或m＝－4.
所以存在符合條件的直線l，方程為x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
方法二：設這樣的直線存在，其方程為y＝x＋b，它與圓C的交點設為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則由
得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
所以
，
所以y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2.
由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，
所以2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
即b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，整理得b2＋3b－4＝0，
所以b＝1或b＝－4.
所以存在符合條件的直線l，方程為x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
知識點：圓與方程
題型：解答題
