已知正方形ABCD,點M邊AB的中點.(1)如圖1,點G為線段CM上的一點,且∠AGB=90°,延長AG、BG...
問題詳情:
已知正方形ABCD,點M邊AB的中點.
(1)如圖1,點G為線段CM上的一點,且∠AGB=90°,延長AG、BG分別與邊BC、CD交於點E、F.
①求*:BE=CF;
②求*:BE2=BC•CE.
(2)如圖2,在邊BC上取一點E,滿足BE2=BC•CE,連接AE交CM於點G,連接BG並延長CD於點F,求tan∠CBF的值.
【回答】
【考點】SO:相似形綜合題..
【分析】(1)①由正方形的*質知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°,結合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF,*△ABE≌△BCF可得;
②由RtABG斜邊AB中線知MG=MA=MB,即∠GAM=∠AGM,結合∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG,從而*△CGE∽△CBG得CG2=BC•CE,由BE=CF=CG可得*;
(2)延長AE、DC交於點N,*△CEN∽△BEA得BE•CN=AB•CE,由AB=BC、BE2=BC•CE知CN=BE,再由==且AM=MB得FC=CN=BE,設正方形的邊長為1、BE=x,根據BE2=BC•CE求得BE的長,最後由tan∠CBF==可得*.
【解答】解:(1)①∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,
∴∠ABG+∠CBF=90°,
∵∠AGB=90°,
∴∠ABG+∠BAG=90°,
∴∠BAG=∠CBF,
∵AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∴△ABE≌△BCF,
∴BE=CF,
②∵∠AGB=90°,點M為AB的中點,
∴MG=MA=MB,
∴∠GAM=∠AGM,
又∵∠CGE=∠AGM,∠GAM=∠CBG,
∴∠CGE=∠CBG,
又∠ECG=∠GCB,
∴△CGE∽△CBG,
∴=,即CG2=BC•CE,
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG,
由①知BE=CF,
∴BE=CG,
∴BE2=BC•CE;
(2)延長AE、DC交於點N,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠N=∠EAB,
又∵∠CEN=∠BEA,
∴△CEN∽△BEA,
∴=,即BE•CN=AB•CE,
∵AB=BC,BE2=BC•CE,
∴CN=BE,
∵AB∥DN,
∴==,
∵AM=MB,
∴FC=CN=BE,
不妨設正方形的邊長為1,BE=x,
由BE2=BC•CE可得x2=1•(1﹣x),
解得:x1=,x2=(舍),
∴=,
則tan∠CBF===.
【點評】本題主要考查相似形的綜合問題,熟練掌握正方形與直角三角形的*質、全等三角形的判定與*質、相似三角形的判定與*質是解題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:綜合題