如圖,四稜錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PD=CD=2,∠PDC=120°.(Ⅰ...
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問題詳情:
如圖,四稜錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PD=CD=2,∠PDC=120°.
(Ⅰ)*平面PDC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.
【回答】
【考點】LY:平面與平面垂直的判定;MI:直線與平面所成的角.
【分析】(Ⅰ)*AD⊥CD,AD⊥PD,推出AD⊥平面PDC,然後*平面PCD⊥平面ABCD.
(Ⅱ)在平面PCD內,過點P作PE⊥CD交直線CD於點E,連接EB,説明∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角,通過在Rt△PEB中,求解sin∠PBE=,推出結果.
【解答】(Ⅰ)*:由於底面ABCD是矩形,
故AD⊥CD,又由於AD⊥PD,CD∩PD=D,
因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,
所以平面PCD⊥平面ABCD.…6分;
(Ⅱ)解:在平面PCD內,過點P作PE⊥CD交直線CD於點E,連接EB,
由於平面PCD⊥平面ABCD,而直線CD是平面PCD與平面ABCD的交線,
故PE⊥平面ABCD,由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角…8分
在△PDC中,由於PD=CD=2,∠PDC=120°,知∠PDE=60°.,
在Rt△PEC中,PE=PDsin60°=3,DE=12,PD=1,
且BE===,
故在Rt△PEB中,PB==,sin∠PBE==.
所以直線PB與平面ABCD所成的角的正弦值為.…12分.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題