(1)如圖1,點為線段外一動點,且,,填空:當點位於
問題詳情:
(1)如圖1,點為線段外一動點,且,,填空:當點位於__________時,線段的長取到最大值__________,且最大值為;(用含、的式子表示).
(2)如圖2,若點為線段外一動點,且,,分別以,為邊,作等邊和等邊,連接,.
①圖中與線段相等的線段是線段__________,並説明理由;
②直接寫出線段長的最大值為__________.
(3)如圖3,在平面直角座標系中,點的座標為,點的座標為,點為線段外一動點,且,,,請直接寫出線段長的最大值為__________,及此時點的座標為__________.(提示:等腰直角三角形的三邊長、、滿足)
【回答】
(1)CB的延長線上;a+b;(2)①CD=BE,*見解析;②9;(3); 或.
【解析】
(1) 根據點A位於CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,即可得到結論; .
(2) ①根據等邊三角形的*質得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根據全等三角形的*質得到CD=BE;②由於線段BE長的最大值=線段CD的最大值,根據(1) 中的結論即可得到結果;
(3)連接BM,將△APM繞着點P順時針旋轉90°得到△PBN,連接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根據全等三角形的*質得到PN=PA=4, BN=AM.根據當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,即可得到最大值為如圖2.過P作PE⊥x軸於E,根據等腰直角三角形的*質即可得到結論.
【詳解】
解: (1) ∵點A為線段BC外一動點,且BC=a, AB=b,
∴當點A位於CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+AB=a+b.
故*為: CB的延長線上,a+b;
(2) ①CD=BE,
理由:∵△ABD與△ACE是等邊三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.
∴∠CAD=∠EAB,
在△CAD與△EAB中,
∴△CAD≌△EAB (SAS) ,
∴CD=BE.
②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,
由(1)知,當線段CD的長取得最大值時,點D在CB的延長線上,
∴最大值為BD+BC=AB+BC=9;
故*為:CD=BE,9.
(3)如圖1:
∵將△APM繞着點P順時針旋轉90°得到△PBN,連接AN,則△APN是等腰直角三角形。
∴PN=PA=2,BN=AM, .
∵A的座標為(4. 0),點B的座標為(10, 0) ,
∴OA=4,OB=10,
∴AB=6.
∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,
∴當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,最大值=AB+AN,
∵
∴最大值為:
如圖2.
過P作PE⊥x軸於E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴ ,
∴
∴ .
如圖3中,
根據對稱*可知當點P在第四象限時,時,也滿足條件.
綜上所述,滿足條件的點P座標 或 ,AM的最大值為.
故*為:, 或
【點睛】
本題綜合考查了全等三角形的判定和*質,等腰直角三角形的*質,最大值問題,旋轉的*質.正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.
知識點:等腰三角形
題型:解答題