如圖,在平面座標系中,直線y=﹣x+2與x軸,y軸分別交於點A,點B,動點P(a,b)在第一象限內,由點P向x...
問題詳情:
如圖,在平面座標系中,直線y=﹣x+2與x軸,y軸分別交於點A,點B,動點P(a,b)在第一象限內,由點P向x軸,y軸所作的垂線PM,PN(垂足爲M,N)分別與直線AB相交於點E,點F,當點P(a,b)運動時,矩形PMON的面積爲定值2.當點E,F都在線段AB上時,由三條線段AE,EF,BF組成一個三角形,記此三角形的外接圓面積爲S1,△OEF的面積爲S2。試探究:是否存在最大值?若存在,請求出該最大值;若不存在,請說明理由。
【回答】
存在。
∵四邊形OAPN是矩形,∠OAF=∠EBO=45°,
∴△AME、△BNF、△PEF爲等腰直角三角形。
∵E點的橫座標爲a,E(a,2﹣a),
∴AM=EM=2﹣a。
∴AE2=2(2﹣a)2=2a2﹣8a+8。
∵F的縱座標爲b,F(2﹣b,b),
∴BN=FN=2﹣b。∴BF2=2(2﹣b)2=2b2﹣8b+8。
∵PF=PE=a+b﹣2,
∴EF2=2(a+b﹣2)2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8。
∵ab=2,
∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16。
∴EF2=AE2+BF2。
∴線段AE、EF、BF組成的三角形爲直角三角形,且EF爲斜邊。
∴此三角形的外接圓的面積爲。
∵,
∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME,=(PF+ON)•PM﹣PF•PE﹣OM•EM
= [PF(PM﹣PE)+OM(PM﹣EM)]= (PF•EM+OM•PE)=PE(EM+OM)
=(a+b﹣2)(2﹣a+a)=a+b﹣2。
∴。
設m=a+b﹣2,則,
∵,
∴當時,有最大值,最大值爲。
【考點】單動點問題,等腰直角三角形的判定和*質,勾股定理和逆定理,二次函數的*質,偶次冪的非負*質,轉換思想的應用。
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題