如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB爲直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E爲BC的中點，連接DE．（1）...

問題詳情：

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB爲直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E爲BC的中點，連接DE．

（1）求*：DE是半圓⊙O的切線．

（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長．

【回答】

【考點】切線的判定．

【分析】（1）連接OD，OE，由AB爲圓的直徑得到三角形BCD爲直角三角形，再由E爲斜邊BC的中點，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE爲公共邊，利用SSS得到三角形OBE與三角形ODE全等，由全等三角形的對應角相等得到DE與OD垂直，即可得*；

（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC爲AC的一半，根據BC=2DE求出BC的長，確定出AC的長，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC爲等邊三角形，可得出DC的長，由AC﹣CD即可求出AD的長．

【解答】（1）*：連接OD，OE，BD，

∵AB爲圓O的直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，E爲斜邊BC的中點，

∴DE=BE，

在△OBE和△ODE中，

，

∴△OBE≌△ODE（SSS），

∴∠ODE=∠ABC=90°，

則DE爲圓O的切線；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴BC=AC，

∵BC=2DE=4，

∴AC=8，

又∵∠C=60°，DE=CE，

∴△DEC爲等邊三角形，即DC=DE=2，

則AD=AC﹣DC=6．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題