問題背景:如圖,將繞點逆時針旋轉60°得到,與交於點,可推出結論:問題解決:如圖,在中,,,.點是內一點,則點...
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問題詳情:
問題背景:如圖,將繞點逆時針旋轉60°得到,與交於點,可推出結論:
問題解決:如圖,在中,,,.點是內一點,則點到三個頂點的距離和的最小值是___________
【回答】
【分析】
如圖,將△MOG繞點M逆時針旋轉60°,得到△MPQ,易知△MOP爲等邊三角形,繼而得到點O到三頂點的距離爲:ON+OM+OG=ON+OP+PQ,由此可以發現當點N、O、P、Q在同一條直線上時,有ON+OM+OG最小,此時,∠NMQ=75°+60°=135°,過Q作QA⊥NM交NM的延長線於A,利用勾股定理進行求解即可得.
【詳解】
如圖,將△MOG繞點M逆時針旋轉60°,得到△MPQ,
顯然△MOP爲等邊三角形,
∴,OM+OG=OP+PQ,
∴點O到三頂點的距離爲:ON+OM+OG=ON+OP+PQ,
∴當點N、O、P、Q在同一條直線上時,有ON+OM+OG最小,
此時,∠NMQ=75°+60°=135°,
過Q作QA⊥NM交NM的延長線於A,則∠MAQ=90°,
∴∠AMQ=180°-∠NMQ=45°,
∵MQ=MG=4,
∴AQ=AM=MQ•cos45°=4,
∴NQ=,
故*爲.
【點睛】
本題考查了旋轉的*質,最短路徑問題,勾股定理,解直角三角形等知識,綜合*較強,有一定的難度,正確添加輔助線是解題的關鍵.
知識點:圖形的旋轉
題型:填空題