如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、...
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如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),点M为AB上一点,AM:BM=2:1,∠EMF在AB的下方以M为中心旋转且∠EMF=45°,ME交y轴于点P,MF交x轴于点Q. (Ⅰ)求点M的坐标; (Ⅱ)设AQ的长为y,BP的长为x.求y与x的函数关系式; (Ⅲ)当P为OB的中点时,求四边形OQMP的面积.
【回答】
解:(Ⅰ)∵正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3), ∴OA=OB=OC=OD=3,在Rt△AOB中由勾股定理,得 AB=3
. ∵AM:BM=2:1, ∴AM=2
, ∴BM=
, 作MG⊥AC于点G, ∴MG∥BD, ∴△AMG∽△ABO, ∴
, ∴
, ∴MG=2, ∴AG=2, ∴OG=1, ∴M(1,2); (Ⅱ)∵四边形ABCD是正方形,且AC、BD是对角线, ∴∠1=∠5=45°, ∴∠3＋∠4=135°, ∵∠EMF=45°, ∴∠2＋∠4=135°, ∴∠2=∠3,有∠1=∠5, ∴△BMP∽△AQM,∴
, ∴
,解得:y=
; (Ⅲ)∵P为OB的中点, ∴BP=
OB=
,∴y=AQ=
=
. 作MH⊥BD于H,MS⊥AC于S, 由勾股定理可以求得:MH=1,MS=2, ∴S四边形OQMP=
.
图① 图② 图③
知识点：相似三角形
题型：解答题
