在任意n(n>1且为整数)位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”,在K的末位前添加6得到的新数叫做...
问题详情:
在任意n(n>1且为整数)位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”,在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”.若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除,称K是“最佳拍档数”.比如1324的“顺数”为16324,1324的“逆数”为13264,1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264=3060,3060÷17=180,所以1324是“最佳拍档数”.
(1)请根据以上方法判断31568 (填“是”或“不是”)“最佳拍档数”;若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N,其个位数字与十位数字之和为8,且百位数字不小于十位数字,求所有符合条件的N的值.
(2)*:任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除.
【回答】
(1)解:31568的“顺数”为361568,31568的“逆数”为315668,31568的“顺数”与“逆数”之差为361568﹣315668=45900,45900÷17=2700,所以31568是“最佳拍档数”;
设“最佳拍档数”N的十位数字为x,百位数字为y,则个位数字为8﹣x,y≥x,
N=5000+100y+10x+8﹣x=100y+9x+5008,
∵N是四位“最佳拍档数”,
∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x],
=6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x,
=5940﹣90x﹣900y,
=90(66﹣x﹣10y),
∴66﹣x﹣10y能被17整除,
①x=2,y=3时,66﹣x﹣10y=34,能被17整除,此时N为5326;
②x=3,y=8时,66﹣x﹣10y=﹣17,能被17整除,此时N为5835;
③x=5,y=1时,66﹣x﹣10y=51,能被17整除,但x>y,不符合题意;
④x=6,y=6时,66﹣x﹣10y=0,能被17整除,此时N为5662;
⑤x=8,y=3时,66﹣x﹣10y=28,不能被17整除,但x>y,不符合题意;
⑥当x=9,y=4时,66﹣x﹣10y=17,能被17整除,但x>y,不符合题意;
综上,所有符合条件的N的值为5326,5835,5662;
故*为:是;
(2)*:设三位正整数K的个位数字为x,十位数字为y,百位数字为z,
它的“顺数”:1000z+600+10y+x,
它的“逆数”:1000z+100y+60+x,
∴(1000z+600+10y+x)﹣(1000z+100y+60+x)=540﹣90y=90(6﹣y),
∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除,
设四位正整数K的个位数字为x,十位数字为y,百位数字为z,千位数字为a,
∴(10000a+6000+100z+10y+x)﹣(10000a+1000z+100y+60+x)=5940﹣900z﹣90y=90(66﹣10z﹣y),
∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除,
同理得:任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除.
【点评】本题主要考查了“顺数”、“逆数”、“最佳拍档数”的定义及应用,熟练掌握几位数的表示方法,理解新定义,计算“顺数”与“逆数”之差,分解因式是解题的关键.
知识点:实际问题与一元一次方程
题型:解答题