已知函数(a>0,a≠1,m≠﹣1),是定义在(﹣1,1)上的奇函数.(1)求实数m的值;(2)当m=1时,判...
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已知函数(a>0,a≠1,m≠﹣1),是定义在(﹣1,1)上的奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)当m=1时,判断函数f(x)在(﹣1,1)上的单调*,并给出*;
(3)若且f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0,求实数b的取值范围.
【回答】
解:(1)∵函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,∴f(﹣x)+f(x)=0,
∴loga+loga=0,即=1,
整理得1﹣m2x2=1﹣x2对定义域内的x都成立.∴m2=1.
所以m=1或m=﹣1(舍去)∴m=1.
(2)由(1)可得f(x)=loga.
令﹣1<x1<x2<1,则f(x1)﹣f(x2)=loga,
∵﹣1<x1<x2<1,∴,>1,
∴>1,
∴当a>1时,f(x1)﹣f(x2)=loga>0,即f(x1)>f(x2);
当0<a<1时,f(x1)﹣f(x2)=loga<0,即f(x1)<f(x2);
∴当a>1时,f(x)在(﹣1,1)上是减函数,
当0<a<1时,f(x)在(﹣1,1)上是增函数.
(3)∵f()=loga>0,∴0<a<1,
∴f(x)在(﹣1,1)上是增函数,又f(x)是奇函数,
∴f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0等价于f(b﹣2)>﹣f(2b﹣2)=f(2﹣2b),
又f(x)的定义域为(﹣1,1),
∴,解得:.
∴b的取值范围是(,).
知识点:基本初等函数I
题型:解答题