如图,抛物线y=-x2+x+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且A点坐标为(-3,0),连接BC、AC....
问题详情:
如图,抛物线y=-x2+x+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且A点坐标为(-3,0),连接BC、AC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E从点B出发,沿x轴向点A运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线L平行于AC,交BC于点D,设BE的长为M,△BDE的面积为S,求S关于M的函数关系式,并写出自变量M的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值.
第7题图
【回答】
解:(1)∵抛物线y=-x2+x+c过A点,且A(-3,0),
∴0=-×9-×3+c,解得c=9,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+9;
(2)∵抛物线的解析式为y=-x2+x+9,
∴C点坐标为(0,9),
∴OC=9,
令y=0可得-x2+x+9=0,解得x=-3或x=6,
∴B点坐标为(6,0),
∴AB=6-(-3)=9;
设直线AC的解析式为y=kx+b,
把A、C两点坐标代入可得,
解得,
∴直线AC的解析式为y=3x+9,
∵直线ED∥AC,
∴可设直线ED的解析式为y=3x+m,
∵OB=6,BE=m,
∴OE=6-m,
∴E点的坐标为(6-m,0),代入直线ED的解析式可得0=3(6-m)+n,解得n=3(m-6),
∴直线ED的解析式为y=3x+3m-18,
设直线BC的解析式为y=rx+s,
把B、C两点坐标代入可得,
解得,
∴直线BC的解析式为y=-x+9,
联立,解得,
∴D点坐标为(6-m,m),
∴D到BE的距离为m,
∴S=S△BDE=m·m=m2,
又∵E在线段AB上,且不与点A、B重合,
∴0<BE<AB,
∴m的取值范围为0<m<9;
(3)∵OC=9,BE=m,
∴S△BEC=BE·OC=×m×9=m,
∴S△CDE=S△BEC-S△BDE=m-m2=-(m-)2+,
∴当m=时,△CDE的面积有最大值,最大值为.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题